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e.v pre-hilbert es e.v normado¿?¿

Posted: 27 Mar 2007, 21:00
by lettypan
Buenas! Mi pregunta es la siguiente:

Un espacio vectorial normado es un espacio pre-Hilbert?

Sé que: Todo e.v pre-Hilberte es un e.v normado, epro al revés también se cumple?

Muchas gracias

Besotes

Posted: 29 Sep 2007, 21:00
by Johannes
Hola:

En un espacio prehilbert, lo que nos importa es, esencialmente, que tengamos un producto escalar. La identidad de polarización,

[tex]<x,y>=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2+i(||x+iy||^2+||x-iy||^2))[/tex]

nos proporciona la forma de encontrar dicho producto escalar a partir de la norma, en consecuencia, un espacio normado puede tener producto interior y, por tanto, ser prehilbert. El problema reside en la norma, pues es necesario que la norma satisfaga la identidad del paralelogramo,

[tex]||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)[/tex]

ya que sin esta condición, no es posible aplicar la identidad de polarización que nos permita hallar el producto interior a partir de la norma. Así que, en general, un espacio vectorial normado, no tiene porqué ser prehilbert.